1. Inicio
  2. Atrás
Título: The primal and dual forms of variational data assimilation in the presence of model error
Autores: El Akkraoui, Amal
Fecha: 2010
Publicador: McGill University - MCGILL
Fuente:
Tipo: Electronic Thesis or Dissertation
Tema: Earth Sciences - Atmospheric Sciences
Descripción: The aim of data assimilation is to find the optimal estimate of the state of the atmosphere at a given time using all the available observational data and the knowledge of the physical and dynamical laws that govern the system's motion. A variety of methods are used for this purpose, and most of them are based on statistical estimation theory, such as variational methods that are widely used in operational numerical weather prediction applications. Two forms can be used to solve the variational assimilation problem: the primal (3D/4D-Var) defined in the model space and the dual (3D/4D-PSAS) defined in the ``observation" space. Both variants are theoretically equivalent {\em at} convergence and in the linear case, are expected to have similar convergence properties. In this thesis, the equivalence is confirmed in an operational setting for the three and four dimensional cases, and the convergence properties are studied. While results at convergence confirm the theoretical equivalence, the convergence of the dual method exhibits a spurious behaviour at the beginning of the minimization which leads to less probable states than the background state, and it takes a number of iterations to retrieve states of comparable probability to that of the background state. This is worrisome since operational implementations can only afford a limited number of iterations. Investigation of this problem showed that it could be avoided by using a minimization scheme, such as the minimum residual (Minres) algorithm, that monotonically decreases the norm of the gradient instead of the functional itself. The iterates of a dual minimization with Minres lead to increasingly probable states.
A relationship is established showing that the primal functional is related to the value of the dual functional and the norm of its gradient. This holds for the incremental forms of both the three and four dimensional cases.
The intercomparison of the primal and dual forms is also examined in a two dimensional weak-constraint framework to account for model errors within the assimilation system. A dual form of the weak-constraint 4D-Var is formulated and results showed that both methods converge to the same solution and with similar convergence rates. As in the three and four dimensional cases, the dual algorithm is still sensitive to the choice of the minimization algorithm, and benefits from Minres properties to avoid the non-physical increments in the first iterations.
Singular vectors of primal and dual Hessians are used to improve the preconditioning of the minimization and to establish a connection between the Hessians which is key to cycling the dual Hessian to the next analysis window.
This holds also in the weak-constraint case and the significantly lower dimension of the control variable in the dual case may be beneficial then. This is an attractive proposition as the length of the assimilation window is extended.
L'objectif de l'assimilation de données est de trouver une estimation optimale de l'état de l'atmosphère à un moment donné en utilisant toute l'information disponible à travers et les observations et les connaissances sur les lois dynamiques et physiques qui gouvernent l'atmosphère. Différentes méthodes sont utilisées à cette fin, dont la majorité sont basées sur les principes de l'estimation statistique. Les méthodes variationnelles en sont un exemple et sont actuellement implémentées dans les grands centres de prévision numérique du temps. Deux formes peuvent être utilisées pour résoudre le problème d'assimilation variationnelle : la primale (3D/4D-Var) qui est définie dans l'espace du modèle et la duale (3D/4D-PSAS) qui est définie dans l'espace des observations. Les deux variantes sont en théorie équivalentes à la convergence et dans le cas linéaire, et sont supposées avoir un comportement de convergence similaire. Dans cette thèse, l'équivalence est confirmée dans un cadre opérationnel, et les propriétés de la convergence étudiées pour les cas tri- et quadri-dimensionnels (3D et 4D).
Alors que les résultats à la convergence confirment l'équivalence théorique, la convergence de la méthode duale présente un comportement étrange pendant les premières itérations de la minimisation, ce qui produit des états moins probables que l'ébauche et cela prend quelques iterations avant de retrouver des états dont la probabilité est comparable à celle de l'ébauche. Ce comportement est inquiétant puisque les implémentations opérationnelles ne peuvent se permettre qu'un nombre limité d'itérations. L'examen de ce problème a montré qu'il peut être évité en utilisant des schémas de minimisation tels que les méthodes à résidu minimum (Minres) qui réduisent monotoniquement la norme du gradient au lieu de la fonction objective elle même. Ainsi, les itérés de la minimisation duale avec Minres conduisent à des états de plus en plus probables.
Une relation est formulées montrant que la fonction primale est liée à la valeur de la fonction duale ainsi que celle de la norme de son gradient. Cela est valide pour les formes incrémentales dans les cas 3D et 4D.
Aussi, la comparaison entre les formes primale et duale a-t-elle été effectuée dans le cadre d'un système bi-dimensionnel en contrainte faible pour tenir compte des erreurs modèle dans le processus d'assimilation. Une forme duale du 4D-Var contrainte faible a été formulée et les résultats montrent que les deux méthodes convergent à la même solution et avec un taux de convergence similaire. Comme dans les autres cas précédents, l'algorithme dual est encore sensible au choix du minimiseur, et profite des propriétés de Minres pour éviter de produire des incréments non physiques pendant les premières itérations.
Les vecteurs singuliers des Hessiennes des méthodes primales et duales sont utilisés pour améliorer le pré-conditionnement de la minimisation et pour établir un lien entre les Hessiennes, ce qui s'avère être déterminant dans la solution de cyclage de la Hessienne duale à la fenêtre d'assimilation suivante. Cette propriété reste aussi valide dans le cas de la contrainte faible où la dimension réduite de la variable de contrôle dans le cas dual peut être bénéfique. Cela est d'autant plus intéressant que la fenêtre d'assimilation est appelée à s'élargir.
Idioma: en