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Título: Analysis of three stochastic models for discrete populations
Autores: Cottrell, David Daniel
Fecha: 2010
Publicador: McGill University - MCGILL
Fuente:
Tipo: Electronic Thesis or Dissertation
Tema: Pure Sciences - Mathematics
Descripción: Stochastic models of discrete populations appear in a broad range of contexts. In this thesis, three of these modelling settings are considered: epidemics which spread through both blood transfusion and surgery, stochastic gene expression, and the accumulation of error in velocity statistics in Molecular Dynamics simulations. We examine specific models in each case, illustrating methods for extracting quantitative statistical information from the systems, and discuss how each approach fits into the more general mathematical framework for discrete populations evolving under stochastic dynamics.
The stochastic epidemics are approximated by branching processes. Generating function techniques are used to derive distributions of the final number of infected individuals and contaminated blood or surgery products in the case that the epidemic eventually dies out (subcritical). This simple model provides a framework for extension to more complicated systems such as those that incorporate populations stratified by age or risk of exposure. To our knowledge, this mathematical approach has not been applied to these kinds of epidemic models elsewhere in the literature.
Stochastic models of gene expression are developed in a similar manner as the epidemic models, with the addition of spatial diffusion of the molecules. The presence of molecular motility leads to quantitative questions not present in the non-spatial model. We pose several of these questions and analytically calculate quantities related to the correlation of mRNA and protein molecules in the steady state. These quantities give a sense of the spatial scale of protein and mRNA clusters around a DNA point source.
Molecular Dynamics simulations typically involve the numerical integration of Newtonian dynamics governing the motion of systems of particles. Often the particles interact only through collisions, and a fixed time step integrator is used to move the system forward in time. In this case, small errors accrue in both position and velocity coordinates. By statistical mechanical considerations, we discard the positional information of the system and model it as a population of particles, distinguished only by their velocities, undergoing evolution via random collisions. Employing additional assumptions about the size of the velocity errors and the distribution of particle velocities, we construct a diffusion model for the drift in energy. This model is verified with simulations and is shown to accurately predict the energy drift in dilute systems for moderate time scales.
Les modèles stochastiques de populations discrètes apparaissent dans une variété de contextes. Dans cette thèse, nous considérons trois thèmes de la modéllisation : les épidémies qui se propagent par la transfusion sanguine et de la chirurgie, l'expression des gènes stochastique et l'accumulation d'erreurs dans les statistiques de vitesse de simulations de dynamique moleculaire. Nous examinons les modèles spécifiques dans chaque cas et en tour nous illustrons des méthodes d'extraction des statistiques quantitatives des systèmes d'information. En plus, nous discutons la façon dont les approches differentes s'inscrivent dans le cadre mathématique plus général pour des populations discrètes qui évoluent par les dynamiques stochastique.
Les épidémies stochastiques sont estimé par des processus de branchement et des techniques de fonctions génératrices les moments sont utilisés pour calculer des distributions de l'état finale du nombre de personnes infectés et des produits contaminé de sang ou de la chirugie dans le cas où l'épidémie est souscritique. Ce modèle simple fournit un cadre pour l'extension au systèmes plus complexes tels que ceux qui intègrent les populations stratifiés en fonction de l'age ou le risque d'exposition. À notre connaissance, cette approche mathématique n'a pas été appliquée À ce type d'épidémie de modèles ailleurs dans la littérature.
Les modèles stochastiques de l'expression des gènes sont développés d'un manière similaire aux modèles de l'épidémie, mais avec l'ajout de la diffusion spatiale des molécules. La présence de la motilité moléculaire mène À des nouvelles questions quantitatives qui ne sont pas posée par les modèle non-spatiales. Nous précisons plusieurs de ces questions et effectuons des calculs analytiques pour des quantités liés À la corrélation des molécules d'ARNm et de protéines À l'état stationnaire. Ces quantités donnent une idée de l'échelle spatiale de les grappes l'ARNm et de protéines autour d'un point source d'ADN.
Généralement, les simulations des Dynamiques Moléculaires impliquent l'intégration numérique des dynamiques Newtoniennes qui régissent le mouvement des systèmes de particules. Souvent, les particules interagissent uniquement par le biais de collisions et une méthode À pas de temps constant est utilisée pour intégrer les équations de motion. système dans le temps. Dans ce cas, des petites erreurs s'accumulent dans les deux coordonnées de position et de vitesse. Par des considérations de mécanique statistique, nous écartons l'information des position des particules et abordons le système comme une population de particules, distuinguée par leurs vitesses, en évolution aléatoire par des collisions. Employant des hypothèses de la taille de la vitesse d'erreurs et de la distribution des vitesses des particules, nous construisons un modèle de diffusion pour la dérive de l'énergie. Ce modèle est vérifiée par des simulations et il est indiqué de prévoir avec précision la dérive de l'énergie dans les systèmes À faibles densité avec un pas de temps modéré.
Idioma: en