Descripción: |
El propósito de este trabajo es presentar un estudio sobre la estabilidad
de una línea de transmisión con carga no lineal, en dos
modalidades, la primera como una línea con parámetros concentrados
y la segunda como una línea con parámetros distribuidos. Para
ambos casos se utiliza la misma carga, un diodo tunel, ya que por sus
características de ser un oscilador no lineal con múltiples
puntos de equilibrio, representa un buen ejemplo para simular una carga no
lineal en una línea de transmisión.
La conexión de este trabajo teórico con la práctica,
se puede encontrar en [5], [8], [12] y [20], donde se especifica como se
están desarrollando nuevas tecnologías que permiten diversificar
la transmisión de grandes cantidades de energía, por medio
de: líneas de transmisión de corriente directa (HVDC Systems
por sus siglas en inglés); mejoras en la estabilidad de voltaje y
de potencia en sistemas de generación; sistemas de generación
que incluye operación conjunta de generadores síncronos y
asíncronos; implementar compensadores estáticos el líneas
de gran longitud de corriente alterna; sistemas de transmisión de
corriente alterna flexibles (FACTS, por sus siglas en inglés), etc.
Estamos hablando de sistemas reales de transmisión y generación,
donde se utilizan como herramientas de análisis los ciclos límite,
puntos de equilibrio que pueden ser nodos estables, nodos inestables o puntos
de silla, utilización de retratos de fase y determinar la estabilidad
de los múltiples puntosde equilibrio principalmente, mediante el concepto
de estabilidad en el sentido de Lyapunov.
El trabajo aquí presentado se ubica en los trabajos de líneas
de corriente directa, limitado al análisis de estabilidad de una solo
línea.
La línea con parámetros concentrados, presentada en el
Capítulo 3 se realiza bajo el enfoque de la estabilidad en el sentido
de Lyapunov, que toma como referencia los trabajos efectuados en [3] y [13],
y la línea con parámetros distribuidos, se propone bajo el
enfoque de una línea sin pérdidas utilizando como herramientas
para el análisis de la estabilidad, las funcionales de Lyapunov Krasovskii
y las desigualdades de matrices lineales del Control Toolbox de Matlab,
tomándose como referencia los trabajos de [1] y [16], principalmente,
aunque también se mencionan otras aportaciones.
En los trabajos anteriores, para ambos casos, el análisis de estabilidad
se realiza utilizando una línea de transmisión con parámetros
propuestos de manera didáctica y para la línea sin pérdidas,
se utiliza una carga no lineal no definida. En este estudio, una aportación
es la utilización para ambos casos los parámetros reales de
impedancia y longitud de una línea de transmisión preparada
exprofeso, y la carga no lineal es representada por un diodo tunel comercial.
Por otra parte, de acuerdo a los trabajos de [2], [10] y [11] el análisis
se establece para una línea de transmisión sin
pérdidas, para un sistema en un sólo punto de equilibrio, a
diferencia del modelo de la línea sin pérdidas presentado
aquí, que incluye tres puntos de equilibrio.
Siendo el análisis de estabilidad más complejo en las líneas
de transmisión con parámetros distribuidos que con parámetros
concentrados, ya que el sistema bajo consideración es descrito por
ecuaciones diferenciales funcionales con retardo de tiempo. En [10] y [11],
se puede encontrar el interés que este tema ha despertado en las
últimas dos décadas, resaltando [7] y [14], donde se puede
destacar que las primeras publicaciones datan de finales de los años
sesentas y las últimas fueron publicadas recientemente (2002 y 2004),
por lo que se considera un tema que todavía no está terminado.
El primer capítulo se dedica a comentar sobre las características
de los sistemas dinámicos, clasificándolos en sistemas no lineales,
lineales y linealizados; donde se hace una recopilación de las
herramientas matemáticas del algebra lineal y las ecuaciones diferenciales
que soportan el análisis que se utilizará en capítulos
posteriores.
Cabe resaltar en este capítulo una de las herramientas de análisis
para determinar el comportamiento de un sistema escencialmente no lineal,
llamado el retrato de fase, un método gráfico que permite detectar
las trayectorias dinámicas o comportamiento de un sistema representado
por un conjunto de ecuaciones diferenciales, y que además proporciona
información sobre los puntos de equilibrio y los valores propios,
que son elementos indispensables para establecer los criterios de estabilidad
del sistema.
El segundo capítulo inicia con el concepto matemático de un
sistema autónomo, definido por un conjunto de ecuaciones diferenciales,
donde se indica si la estabilidad de un punto de equilibrio es estable,
asintóticamente estable o inestable. La estabilidad en el sentido
de Lyapunov, es el siguiente concepto que se revisa, aquí se establecen
los teoremas que definen la estabilidad, inestabilidad y la estabilidad
asintótica de un sistema. Una de las ventajas del Segundo Método
de Lyapunov, es que es aplicable tanto a sistemas lineales como no lineales,
sistemas variantes como invariantes en el tiempo, y que además no
se requiere de los difíciles despejes o solución de complejas
ecuaciones diferenciales, sino solo de determinar su comportamiento.
En la tercera parte, se establece el análisis de estabilidad para
una línea real, tomando el modelo de una línea de transmisión
corta que tiene como carga un diodo tunel en paralelo con una capacitancia.
En esta parte, se aplican la teoría de circuitos eléctricos
en el espacio de estados, los conceptos de sistemas dinámicos lineales
y no lineales y la teoría de estabilidad de Lyapunov.
La parte gráfica se obtiene con Matlab y Simulink, en la simulación
del circuito propuesto,
se introducen gráficos que indican claramente la estabilidad de los
puntos de equilibrio que se presentan en este sistema. Una aportación
que se hace en este trabajo es que el circuito de la línea de
transmisión con parámetros concentrados, se hace con valores
reales obtenidos de los datos del fabricante del cable adquirido exprofeso,
además, se selecciona un diodo tunel comercial, a diferencia de las
referencias bibliográficas consultadas, donde los parámetros
del circuito son puramente didácticos.
Para el capítulo cuatro, el modelo se cambia a una línea de
transmisión sin pérdidas con parámetros distribuidos,
donde se presenta un manejo más complejo debido a que el sistema se
establece como una ecuación diferencial funcional lineal con
incertidumbres y con retardo. La base de este análisis se toma de
la referencias bibliográficas [1] y [14] donde el análisis
de estabilidad se establece a través de la solución del sistema
neutral con retardo por medio de desigualdades de matrices lineales.
El análisis de estabilidad en estas referencias y otras que tratan
el tema, es realizado para una línea de transmisión, donde
se incluye los parámetros de manera didáctica y una carga no
lineal sin especificar, en este documento el análisis es realizado
una línea de transmisión donde los parámetros se determinan
analíticamente de una línea real y el elemento específico
de la carga no lineal es el diodo tunel 1N3712. Adicionalmente, al final
se presenta una simulación de la solución, la cual se deriva
de la solución de la ecuación por medio del método de
paso a paso [7].
Cabe mencionar que todas las simulaciones se efectuaron en Matlab y Simulink,
primordialmente por ser uno de los programas más comúnmente
utilizados para ingeniería en general y para el área de control
en particular, además de contar con la caja de herramientas de
desigualdades de matrices lineales, que se aplica en el capítulo 4.
Los programas utilizados se presentan en el Anexo A.
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