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Título: Introducción a la teoría espectral de los operadores no lineales
Autores: Appell, Jürgen
Fecha: 2010-02-02
2010-02-02
2010-02-02
Publicador: Universidad de los Andes Venezuela
Fuente:
Tipo: Texto
Tema: Teoría espectral no lineal
Teoría de autovalores no lineal
Alternativa de fredholm no lineal
Escuela de Ciencias
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemática
Nonlinear spectral theory
Nonlinear eigenvalue theory
Nonlinear Fredholm alternative
Notas de Matemática
Revistas
Descripción: ¿Cómo se podría introducir un espectro para operadores no lineales que pueda preservar las propiedades “agradables” del caso lineal, pero que admita aplicaciones interesantes a una variedad amplia de problemas no lineales? Esta va hacer la pregunta que va a proveer el enfoque principal de este minicurso. Tomando en cuenta la importancia de la teoría espectral para los operadores lineales en análisis funcional, teoría de los operadores, y mecánica quantistica, no es sorprendente que varios intentos hayan sido tomados para introducir y estudiar espectros también para muchas otras clases de operadores no lineales como los operadores contínuos, diferenciables o contínuos en el sentido de Lipschitz. Esto ha sido hecho principalmente en analogía al caso lineal. Sin embargo, veremos que es descarriador sino peligroso transferir nociones directamente de la teoría lineal, porque los espectros definidos de esta manera resultan ser generalmente de uso muy limitado. Por otro lado, existen otros espectros no lineales que son todos basados sobre ciertas propiedades de compacidad: Uno de ellos es de carácter “asintótico”, otro “global”, y otro todavía “local”. A pesar de sus definiciones bastante técnicos, estos espectros tienen aplicaciones sorprendentes a varios problemas de análisis no lineal. En particular, discuteremos algunas aplicaciones de estos espectros a las llamadas “alternativas de Fredholm no lineales”, como algunos problemas de autovalores no lineales para el operador p-Laplace que surge in muchos campos de matemáticas aplicadas, mecánica, física e ingenería. Todo el material presentado en este minicurso se puede hallar, con mucho más ejemplos y aplicaciones, en la monografía [2].
24-48
jurgen@dmuw.de
trimestral
How should we define a spectrum for nonlinear operators which attempts to preserve the useful properties of the linear case, but admits interesting applications to a possibly large variety of nonlinear problems? This is the question that will provide the main focus of this minicourse. In view of the eminent importance of spectral theory for linear operators in functional analysis, operator theory, and quantum mechanics, it is not surprising that various attempts have been made to introduce and discuss spectra also for several classes of nonlinear operators, such as continuous, di erentiable, or Lipschitz continuous operators. This has been done mainly by analogy to the linear case. However, we will see that it is misleading, if not dangerous, to “borrow” notions naively from the linear theory, because the resulting spectra are of very limited use. On the other hand, there are in fact other nonlinear spectra which are all based on some compactness properties, but are quite di erent in nature: one spectrum is “asymptotic”, one is “global”, and one is “local”. In spite of their rather technical definition, these spectra have surprising applications to various problems in nonlinear analysis. In particular, we will indicate some application of these spectra to socalled “nonlinear Fredholm alternatives”, as well as to the nonlinear eigenvalue problem for the p-Laplace operator which arises in many fields of applied mathematics, mechanics, physics, and engineering. All the material presented in this minicourse may be found, together with many more examples and applications, in the monograph [2].
Idioma: Español