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Título: Communication complexity
Autores: Ada, Anil
Fecha: 2014
Publicador: McGill University - MCGILL
Fuente:
Tipo: Electronic Thesis or Dissertation
Tema: Applied Sciences - Computer Science
Descripción: Communication complexity studies how many bits a certain number of parties need to communicate with each other in order to compute a function whose input is distributed among those parties. Although it is a natural area of investigation based on practical considerations, the main motivation comes from the myriad of applications in theoretical computer science.This thesis has three main parts, studying three different aspects of communication complexity.1. The first part is concerned with the k-party communication complexity of functions F:({0,1}^n)^k -> {0,1} in the 'number on the forehead' (NOF) model. This is a fundamental model with many applications. In this model we study composed functions f of g. These functions include most of the well-known and studied functions in communication complexity literature. A major goal is to understand which combinations of f and g lead to hard communication functions. In particular, due to important circuit applications, it is of great interest to understand how powerful the NOF model becomes when k is log n or more. Motivated by these goals, we show that there is an efficient O(log^3 n) cost simultaneous protocol for sym of g when k > 1+log n, sym is any symmetric function and g is any function. This class of functions includes some functions that were previously conjectured to be hard and our result rules this class out for possible very important circuit complexity applications. We also give Ramsey theoretic applications of our efficient protocol. In the setting of k < log n, we study more closely functions of the form majority of g, mod_m of g, and nor of g, where the latter two are generalizations of the well-known functions Inner Product and Disjointness respectively. We characterize the communication complexity of these functions with respect to the choice of g. As the main application, we answer a question posed by Babai et al. (SIAM Journal on Computing, 33:137--166, 2004) and determine the communication complexity of majority of qcsb, where qcsb is the "quadratic character of the sum of the bits" function. 2. The second part is about Fourier analysis of symmetric boolean functions and its applications in communication complexity and other areas. The spectral norm of a boolean function f:{0,1}^n -> {0,1} is the sum of the absolute values of its Fourier coefficients. This quantity provides useful upper and lower bounds on the complexity of a function in areas such as communication complexity, learning theory and circuit complexity. We give a combinatorial characterization for the spectral norm of symmetric functions. We show that the logarithm of the spectral norm is of the same order of magnitude as r(f)log(n/r(f)) where r(f) = max(r_0,r_1), and r_0 and r_1 are the smallest integers less than n/2 such that f(x) or f(x)parity(x) is constant for all x with x_1 + ... + x_n in [r_0, n-r_1]. We present some applications to the decision tree and communication complexity of symmetric functions. 3. The third part studies privacy in the context of communication complexity: how much information do the players reveal about their input when following a communication protocol? The unattainability of perfect privacy for many functions motivates the study of approximate privacy. Feigenbaum et al. (Proceedings of the 11th Conference on Electronic Commerce, 167--178, 2010) defined notions of worst-case as well as average-case approximate privacy, and presented several interesting upper bounds, and some open problems for further study. In this thesis, we obtain asymptotically tight bounds on the trade-offs between both the worst-case and average-case approximate privacy of protocols and their communication cost for Vickrey Auction, which is the canonical example of a truthful auction. We also prove exponential lower bounds on the approximate privacy of protocols computing the Intersection function, independent of its communication cost. This proves a conjecture of Feigenbaum et al.
La complexité de communication étudie combien de bits un groupe de joueurs donné doivent échanger entre eux pour calculer une function dont l'input est distribué parmi les joueurs. Bien que ce soit un domaine de recherche naturel basé sur des considérations pratiques, la motivation principale vient des nombreuses applications théoriques.Cette thèse comporte trois parties principales, étudiant trois aspects de la complexité de communication.1. La première partie discute le modèle 'number on the forehead' (NOF) dans la complexité de communication à plusieurs joueurs. Il s'agit d'un modèle fondamental en complexité de communication, avec des applications à la complexité des circuits, la complexité des preuves, les programmes de branchement et la théorie de Ramsey. Dans ce modèle, nous étudions les fonctions composeés f de g. Ces fonctions comprennent la plupart des fonctions bien connues qui sont étudiées dans la littérature de la complexité de communication. Un objectif majeur est de comprendre quelles combinaisons de f et g produisent des compositions qui sont difficiles du point de vue de la communication. En particulier, à cause de l'importance des applications aux circuits, il est intéressant de comprendre la puissance du modèle NOF quand le nombre de joueurs atteint ou dépasse log n. Motivé par ces objectifs nous montrons l'existence d'un protocole simultané efficace à k joueurs de coût O(log^3 n) pour sym de g lorsque k > 1 + log n, sym est une function symmétrique quelconque et g est une fonction arbitraire. Nous donnons aussi des applications de notre protocole efficace à la théorie de Ramsey.Dans le contexte où k < log n, nous étudions de plus près des fonctions de la forme majority de g, mod_m de g et nor de g, où les deux derniers cas sont des généralisations des fonctions bien connues et très étudiées Inner Product et Disjointness respectivement. Nous caractérisons la complexité de communication de ces fonctions par rapport au choix de g.2. La deuxième partie considère les applications de l'analyse de Fourier des fonctions symmétriques à la complexité de communication et autres domaines. La norme spectrale d'une function booléenne f:{0,1}^n -> {0,1} est la somme des valeurs absolues de ses coefficients de Fourier. Nous donnons une caractérisation combinatoire pour la norme spectrale des fonctions symmétriques. Nous montrons que le logarithme de la norme spectrale est du même ordre de grandeur que r(f)log(n/r(f)), avec r(f) = max(r_0,r_1) où r_0 et r_1 sont les entiers minimaux plus petits que n/2 pour lesquels f(x) ou f(x)parity(x) est constant pour tout x tel que x_1 + ... + x_n à [r_0,n-r_1]. Nous présentons quelques applications aux arbres de décision et à la complexité de communication des fonctions symmétriques.3. La troisième partie étudie la confidentialité dans le contexte de la complexité de communication: quelle quantité d'information est-ce que les joueurs révèlent sur leur input en suivant un protocole donné? L'inatteignabilité de la confidentialité parfaite pour plusieurs fonctions motivent l'étude de la confidentialité approximative. Feigenbaum et al. (Proceedings of the 11th Conference on Electronic Commerce, 167--178, 2010) ont défini des notions de confidentialité approximative dans le pire cas et dans le cas moyen, et ont présenté plusieurs bornes supérieures intéressantes ainsi que quelques questions ouvertes. Dans cette thèse, nous obtenons des bornes asymptotiques précises, pour le pire cas aussi bien que pour le cas moyen, sur l'échange entre la confidentialité approximative de protocoles et le coût de communication pour les enchères Vickrey Auction, qui constituent l'exemple canonique d'une enchère honnête. Nous démontrons aussi des bornes inférieures exponentielles sur la confidentialité approximative de protocoles calculant la function Intersection, indépendamment du coût de communication. Ceci résout une conjecture de Feigenbaum et al.
Idioma: en