Descripción: |
Numerosos problemas que han surgido en diversas ciencias como la
física, biología o economía han encontrado en las
ecuaciones diferenciales y en las ecuaciones en diferencias
modelos adecuados para su estudio y resolución. Estas ecuaciones
han demostrado su eficacia a la hora de expresar matemáticamente
procesos evolutivos continuos o discretos, respectivamente. Un
análisis más profundo de algunos fenómenos muestra que en
muchos casos estas ecuaciones no son suficientes para encontrar un
modelo que los represente y los analice de una forma adecuada. Es
así como las ecuaciones dinámicas surgen de la necesidad de
encontrar modelos que se adapten mejor a la realidad. Con ellas
se estudia la evolución de una gran cantidad de procesos
definidos en conjuntos cerrados arbitrarios, resultando ser un
adecuado modelo para diferentes problemas económicos y
poblacionales. Pensar, por ejemplo, en la evolución de una
especie en la que sus individuos viven en un determinado período
de tiempo, por ejemplo en una estación, y justamente antes de su
muerte ponen sus huevos y los nuevos individuos nacen al inicio de
un nuevo período posterior.
Los objetivos de la teoría de ecuaciones dinámicas en
conjuntos cerrados de números reales, cuyo origen se encuentra
en la tesis doctoral de Stefan Hilger defendida en 1988, son
estudiar bajo una misma formulación ecuaciones diferenciales y
en diferencias además de estudiar ecuaciones en un conjunto
cerrado y no vacío arbitrario de números reales con partes
discretas y continuas como puede ser una sucesión y su límite
o un conjunto de Cantor, entre otros.
El trabajo llevado a cabo en esta memoria se puede dividir en dos
partes claramente diferenciadas, la primera de ellas, referida al
análisis en conjuntos cerrados de números reales arbitrarios,
donde se recogen y desarrollan las herramientas necesarias para
el estudio, en la segunda, de la existencia de solución, en el
sentido clásico, en el sentido de Carathéodory o en el sentido
de las distribuciones de ecuaciones dinámicas de primer y
segundo orden.
Respecto a la primera parte, recogida en el capítulo 1 y
dedicada al análisis en conjuntos cerrados arbitrarios, nos
hemos centrado en la teoría de la $\Delta-$medida y
$\Delta-$integración de Lebesgue dado que el grado de desarrollo
de éstas constituye una pieza clave en el estudio de la
existencia de soluciones débiles de ecuaciones dinámicas. Los
primeros resultados que hemos obtenido relacionados con este tema
se recogen en la sección 1.3, donde se obtiene una nueva
fórmula para el cálculo de la $\Delta-$integral de Lebesgue
como suma de una integral de Lebesgue más una serie numérica
en la que se pone de manifiesto la división del cálculo en sus
partes discreta y real; dicha igualdad ha sido demostrada
caracterizando previamente la $\Delta-$medida en términos de
medidas conocidas. La fórmula anterior ha permitido no sólo
calcular explícitamente el valor de las $\Delta-$primitivas de
funciones elementales en conjuntos cerrados arbitrarios, lo cual
hasta su conocimiento había sido imposible, sino también
profundizar en aspectos importantes de la teoría de la
$\Delta-$integración como son las diversas caracterizaciones de
las funciones absolutamente continuas probadas en la sección
1.4, conocidas cuando el conjunto está formado solamente por
puntos densos pero no para un conjunto cerrado arbitrario. Los
resultados recogidos en las secciones 1.3 y 1.4 han permitido
profundizar en otro de los aspectos fundamentales para la
demostración de existencia de soluciones débiles de problemas
de frontera como son los espacios de Sobolev. A pesar de la gran
importancia de estos espacios y de la información detallada de
que se dispone cuando éstos están definidos en un dominio del
espacio euclídeo dotado de la medida de Lebesgue, el trabajo que
realizamos en la sección 1.5 es el primero en el que se definen
y estudian sus propiedades fundamentales cuando éstos están
definidos en un conjunto cerrado y acotado arbitrario dotado de la
$\Delta-$medida de Lebesgue; asimismo, hemos demostrado una
equi\-valencia entre éstos y los usuales espacios de Sobolev
definidos en un intervalo de la recta real. Además, este trabajo
ha permitido probar en la sección 1.6 una desigualdad tipo
Wirtinger que relaciona la norma en $ L^2_\Delta$ de la potencia
sigma de las funciones absolutamente continuas con
$\Delta-$derivada en $ L^2_\Delta$ con la norma en $ L^2_\Delta$
de su $\Delta-$derivada, como consecuencia de la cual se deducen
de forma inmediata algunas de las conocidas desigualdades tipo
Wirtinger en los casos real y discreto.
Dedicamos los capítulos 2 y 3 a la segunda parte de nuestro
trabajo, esto es, el estudio de ecuaciones dinámicas.
En el capítulo 2 se trata el problema de existencia de
solución en el sentido débil de diversos problemas de
ecuaciones dinámicas de primer orden.
En la sección 2.3 se demuestra la existencia de soluciones
extremales de un problema con condiciones iniciales de primer
orden en el que la función que define la parte no lineal de la
ecuación es una función $L_\Delta^1-$Carathéodory, como
consecuencia de dicho resultado, se obtiene el análogo
permitiendo discontinuidad en la parte no lineal de la ecuación;
el método empleado es una adaptación del clásico método de
Peano, esto es, la aproximación de las soluciones extremales
mediante subsoluciones y sobresoluciones de dicho problema; como
característica a destacar de este trabajo es que los resultados
obtenidos son válidos en el caso discreto tanto para el problema
implícito como para el explícito. La técnica de las sub y
sobresoluciones ha sido empleada en diferentes aplicaciones de una
gran cantidad de problemas de frontera tanto discretos como
continuos. Esta teoría permite, bajo ciertas condiciones, dar
pruebas constructivas de existencia de solución definiendo
sucesiones monótonas que convergen a las soluciones extremales
del problema considerado en un sector comprendido entre una
subsolución y una sobresolución.
El objetivo de la sección 2.4 es el de demostrar la existencia
de solución de un problema de frontera de primer orden con
condiciones de frontera no lineales en el que la función que
determina la parte no lineal de la ecuación es una función
$L_\Delta^1-$Carathéodory y asumiendo la existencia de un par de
sub y sobresoluciones de dicho problema. Las hipótesis que
verifica la función que define las condiciones en la frontera
permiten que el problema estudiado cubra tanto las condiciones
periódicas
como las antiperiódicas; además,
la dependencia funcional en la segunda variable posibilita otros
tipos de condiciones de frontera no lineales diferentes. Asimismo,
se ha demostrado la unicidad de solución de un problema de
frontera que generaliza el antiperiódico y se ha desarrollado un
método monótono para aproximarla.
La sección 2.5 está dedicada al estudio de existencia de
soluciones extremales en presencia de subsoluciones y
sobresoluciones de diversas ecuaciones dinámicas funcionales con
condiciones de frontera funcionales en las que la parte no lineal
de la ecuación es una función $L_\Delta^1-$Carathéodory y se
proporcionan diversos métodos monótonos para aproximarlas.
La sección 2.6 se dedica al estudio de la existencia, unicidad y
aproximación de soluciones de un problema de frontera de primer
orden en un intervalo de un subconjunto cerrado de $\R$, que toma
sus valores en otro subconjunto cerrado de $\R$ a través de su
problema recíproco. Los resultados de existencia y
aproximación de soluciones extremales para ecuaciones
dinámicas con condiciones iniciales probados en secciones
anteriores son la clave para obtener los resultados considerando
ecuaciones dinámicas cuya parte no lineal es no negativa y
verifican un cierto tipo de condiciones de Carathéodory inversas
y discontinuidad.
En la sección 2.7 probamos la existencia y aproximación de
soluciones extremales de un sistema con infinitas ecuaciones
dinámicas funcionales con condiciones de frontera funcionales en
presencia de subsoluciones y sobresoluciones. Los resultados
obtenidos en secciones anteriores sobre la existencia de
soluciones extremales para la ecuación dinámica escalar con
condición inicial y el Teorema de Tarski son la base para la
obtención de los resultados de esta sección.
Dedicamos el capítulo 3 al estudio de diversos problemas de
ecuaciones dinámicas de segundo orden. Hemos utilizado un
enfoque variacional, así como la teoría de puntos críticos,
para establecer la existencia de múltiples soluciones positivas
de diversas ecuaciones dinámicas, tanto regulares como
singulares, de segundo orden con condiciones de Dirichlet
homogéneas en la frontera. En las secciones 3.2 y 3.3 se
demuestra la existencia de soluciones en el sentido débil de
ciertos problemas mientras que el objetivo de la sección 3.4 es
probar la existencia de soluciones en el sentido de las
distribuciones de otro problema. La desigualdad de Wirtinger
será la clave para garantizar que el operador usado en la
formulación variacional de los distintos problemas considerados
es acotado superiormente y coercivo, y de ahí poder asegurar,
por la teoría de puntos críticos, la existencia de un mínimo
que será la solución débil del problema.
Los resultados obtenidos son muy novedosos en la literatura, tanto
por la técnica empleada para demostrarlos como por la amplia
clase de funciones que se pueden elegir en la parte no lineal de
la ecuación. |