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Una de las cuestiones más importantes en la teoría de ecuaciones
diferenciales no autónomas es la descripción a largo plazo de sus
trayectorias. Cuando las funciones que definen tales ecuaciones presentan
una variación recurrente en el tiempo, sus soluciones definen de manera
natural un semiflujo triangular. Gracias a este semiflujo triangular, se
pueden analizar en detalle las trayectorias por medio de métodos de
dinámica topológica. En este trabajo, se estudia la estructura de
los conjuntos omega-límite, lo cual proporciona una visión global
de la dinámica de la ecuación. Es bien sabido que, en algunos
casos, los conjuntos omega-límite heredan algunas de las propiedades
del campo que define la ecuación; en otros casos, su dinámica puede
ser mucho más compleja.
Las ecuaciones diferenciales funcionales (abreviado FDEs) con retardo son
un tipo concreto de ecuaciones diferenciales que tienen en cuenta no solo
el estado actual del sistema, sino también algunos de sus estados
pasados. Su interés práctico reside en el hecho de que permiten
construir modelos matemáticos en los que el pasado influye en el
futuro; algunas aplicaciones dignas de mención son los modelos en
epidemiología, la dinámica de poblaciones y la ingeniería de
control. Las ecuaciones diferenciales funcionales neutrales (abreviado
NFDEs) con retardo son una generalización muy importante de tales
ecuaciones. En ellas, se considera la derivada del valor de un operador en
lugar de la derivada de la solución. Así, los modelos que utilizan
NFDEs pueden representar incrementos y decrementos espontáneos de la
solución aparte de la dependencia temporal proporcionada por las
FDEs.
El estudio de las propiedades dinámicas de los semiflujos triangulares
se ha abordado a menudo asumiendo ciertas condiciones de monotonía
para el semiflujo. Estas condiciones son una herramienta útil a la hora
de deducir el comportamiento a largo plazo de las soluciones. Cabe
mencionar que hay una gran diversidad de condiciones de monotonía, que
varían de la quasi-monotonía a la monotonía fuerte.
Durante décadas, se han estudiado ampliamente ecuaciones diferenciales
autónomas monótonas (véanse Hirsch,
Matano, Polácik y Smith, entre muchos otros). Bajo hipótesis adecuadas, se
ha demostrado que las trayectorias relativamente compactas de un semiflujo
fuertemente monótono convergen genéricamente hacia el conjunto de
equilibrios. Posteriormente, Smith y Thieme estudiaron la
dinámica del semiflujo inducido por una FDE con retardo finito que es
monótona para el orden exponencial. Esta relación de orden es
técnicamente complicada, pero les permitió estudiar ecuaciones que
no satisfacen la condición quasi-monótona habitual asociada al
orden estándar. Krisztin y Wu, y Wu y Zhao extendieron estos resultados
para NFDEs con retardo finito y ecuaciones de evolución, respectivamente.
Últimamente, se ha hecho un gran esfuerzo para estudiar ecuaciones
diferenciales no autónomas monótonas deterministas y aleatorias,
lo cual ha proporcionado una teoría dinámica tanto para el orden
estándar como para el orden exponencial (véanse por ejemplo
Chueshov, Jiang y Zhao, Muñoz-Villarragut, Novo y Obaya, Novo, Obaya
y Villarragut, Novo, Obaya y Sanz, y Shen y Yi). Asumiendo ciertas
propiedades de acotación, compacidad relativa y estabilidad uniforme
de las trayectorias, esta teoría asegura la convergencia de
las órbitas hacia soluciones que reproducen
la dinámica exhibida por la variación temporal de la
ecuación. Cabe destacar que, cuando se trata de FDEs con retardo
infinito o, más en general, NFDEs con retardo infinito, la propiedad de
monotonía fuerte nunca es cierta, con lo que se deben hacer
suposiciones más débiles acerca de la monotonía del
semiflujo.
El origen de esta teoría se remonta a los años 70, cuando Sacker y
Sell demostraron algunos resultados previos sobre la estructura
de los conjuntos omega-límite en el caso de ecuaciones casi
periódicas. Más adelante, Shen y Yi continuaron con su
trabajo en el caso de un flujo distal en la base. Se pueden encontrar
resultados más generales en Novo, Obaya y Sanz;
concretamente, estudiaron la estructura de los conjuntos omega-límite
en $BU$, el espacio de funciones de $(-\infty,0]$ en $\R^m$ que son
acotadas y uniformemente continuas, dotado de la topología
compacto-abierta, cuando el flujo de la base es solo minimal y asumiendo
una propiedad de estabilidad que está íntimamente relacionada con
la distalidad en la fibra. También dedujeron que es apropiado
considerar esa topología al estudiar NFDEs con retardo infinito pues,
bajo hipótesis naturales, las restricciones de los semiflujos definidos
por estas ecuaciones a sus conjuntos omega-límite resultan ser
continuas.
Se puede hacer un estudio alternativo de las soluciones recurrentes de FDEs
casi periódicas utilizando espacios de memoria evanescente (véase
Hino, Murakami y Naito para una definición axiomática y
algunas sus propiedades más importantes), aunque, bajo hipótesis
naturales, la topología de la norma en estos espacios coincide con la
topología compacto-abierta en la adherencia de las trayectorias
relativamente compactas, lo cual hace que el enfoque de Novo, Obaya y Sanz
parezca más razonable.
Se puede encontrar otro planteamiento interesante del estudio de NFDEs en
Staffans, donde se establece que cualquier NFDE con retardo
finito y operador estable y autónomo se puede escribir como una FDE con
retardo infinito en un espacio de memoria evanescente adecuado. Gripenberg,
Londen y Staffans estudian las propiedades fundamentales del
operador de convolución asociado a la ecuación. Estas ideas fueron
utilizadas en algunos artículos posteriores (véanse por ejemplo
Arino y Bourad, y Haddock, Krisztin, Terjéki y
Wu). Se pueden encontrar resultados más generales en esta
línea en Muñoz-Villarragut, Novo y Obaya, y Novo, Obaya y Villarragut,
donde se consideran operadores lineales autónomos con retardo infinito.
Muchos problemas que habían sido resueltos anteriormente para FDEs se han
generalizado al caso de NFDEs; a su vez, estas extensiones han planteado interesantes
problemas que dan lugar al marco actual. En el caso de NFDEs con retardo
infinito y operador autónomo, una transformación tanto del orden
estándar como del orden exponencial por medio del operador de
convolución asociado a la ecuación proporciona la herramienta
necesaria para lograr los resultados esperados, como se puede ver
en Muñoz-Villarragut, Novo y Obaya, y Novo, Obaya y Villarragut.
Algunos de los muchos modelos que consisten en NFDEs con retardo son los
modelos compartimentales. Están formados por varios compartimentos
unidos por medio de tuberías; los compartimentos contienen cierto
material que fluye entre ellos a través de las tuberías, y esto
ocurre en una cantidad de tiempo no despreciable. A su vez, los
compartimentos crean y destruyen material, lo cual queda representado por
la parte neutral de la ecuación. El interés teórico de estos
modelos reside en la existencia de una integral primera que garantiza
ciertas propiedades de estabilidad para el semiflujo que son esenciales en
la teoría. Estas NFDEs modelan procesos físicos y biológicos
para los que hay un balance que no es instantáneo, aunque se han
utilizado en otras áreas como la economía. Algunas de estas
aplicaciones son la ecología, la epidemiología, la
farmacología, la termodinámica, la teoría de control y la
cinemática de medicamentos (véanse Eisenfeld, y
Haddad, Chellaboina y Hui, entre muchos otros).
Los sistemas compartimentales se han utilizado como modelos
matemáticos para el estudio del comportamiento dinámico de muchos
procesos en las ciencias biológicas y físicas (véanse
Jacquez, Jacquez y Simon, y las referencias que allí aparecen).
Algunos resultados iniciales para el caso de FDEs
con retardo finito e infinito se deben a Györi, y Györi
y Eller. Más adelante, Arino y Haourigui demostraron que los sistemas
compartimentales descritos por FDEs casi periódicas con retardo
finito dan lugar a ciertas soluciones casi periódicas. Györi y Wu, Wu, Wu y
Freedman, Arino y Bourad y Krisztin y Wu estudiaron el caso de
sistemas compartimentales representados por NFDEs con retardo finito e
infinito y operador autónomo. Más recientemente, estos resultados
fueron extendidos en Muñoz-Villarragut, Novo y Obaya, y Novo, Obaya y Villarragut,
concluyéndose que las trayectorias relativamente compactas convergen a
soluciones que reproducen la variación temporal de la ecuación y, lo que es más, se puede
predecir cuál será la cantidad final de material dentro de los
compartimentos en función de la geometría de las tuberías.
En este trabajo, estudiamos NFDEs no autónomas con operador lineal no
autónomo y retardo infinito. Es esta situación, las conclusiones
principales que hay en la literatura previa no siguen siendo válidas y,
así, la extensión de la teoría requiere el uso de una
definición alternativa de orden exponencial que se pueda aplicar en el
contexto actual, preservando las propiedades dinámicas de la
teoría anterior. Asumimos algunas propiedades de recurrencia en la
variación temporal de la NFDE; así, sus soluciones inducen un
semiflujo triangular con flujo minimal en la base, $\Omega$. En concreto, los
casos casi periódico y casi automórfico quedan incluidos en esta
formulación. Invertimos el operador de convolución asociado a la
ecuación, generalizando resultados previos en esta línea
encontrados en Muñoz-Villarragut, Novo y Obaya. Las propiedades de regularidad de este operador
de convolución dependen del tipo de recurrencia presentada por la
variación temporal de la ecuación. Asimismo, se consideran nuevas
relaciones transformadas de orden, asociadas tanto al orden estándar
como al orden exponencial; como el operador es no autónomo, este orden
parcial no está definido en $BU$, sino en cada una de las fibras del
producto $\Omega\times BU$. De este modo, damos una versión alternativa a
la estructura de orden introducida en Wu y Freedman que es válida en el
caso de operadores no autónomos. Cuando se utiliza $BU$ como espacio de
fase, la teoría estándar de NFDEs proporciona existencia, unicidad
y dependencia continua de las soluciones. Esto nos permite estudiar la
estructura de los conjuntos omega-límite de las trayectorias acotadas
cuando la ecuación satisface ciertas propiedades de monotonía,
mejorando resultados previos que aparecen en Muñoz-Villarragut, Novo y
Obaya, y Novo, Obaya y Villarragut, y Smith y Thieme, entre otros.
El uso del orden exponencial transformado hace posible imponer condiciones
de monotonía que no requieren la diferenciabilidad de los coeficientes
que definen el operador, sino solo su continuidad. Esto hace que el orden
exponencial transformado sea más natural que el orden exponencial
directo cuando el operador es no autónomo. Estos resultados
teóricos se aplican a sistemas compartimentales y, de este modo,
obtenemos conclusiones bajo condiciones más generales que las
presentadas en la literatura previa, mejorando así algunos resultados
previos para sistemas dinámicos que son monótonos para el orden
exponencial incluso en sus versiones autónomas. Concretamente,
des\-cribimos la cantidad final de material dentro de los compartimentos en
el caso de sistemas compartimentales definidos por NFDEs con operador no
autónomo y retardo infinito.
No obstante, en los Capítulos 9 y 10,
asumimos la diferenciabilidad de los coeficientes que definen el operador y
estudiamos algunos sistemas compartimentales que son monótonos para el
orden exponencial directo. Además, mostramos que la propiedad de
1-recubrimiento de los conjuntos omega-límite es cierta, extendiendo
de esta forma resultados anteriores de Krisztin y Wu al caso de NFDEs con
variación recurrente en el tiempo. |